함수(function) f : A → B 는 A에서 B로의 관계이다. 이 때 f(a)는 단 한 개의 값만 가져야 한다.
f가 A에서 B로의 함수일 때,
everywhere defined : 정의역 Dom(f) = A이면, 모든 곳에서 정의되었다(everywhere difined)고 한다.
onto : 치역 Ran(f) = B이면, 전사(onto)함수라고 한다.
one to one : 다른 원소 a, b에 대하여 f(a) = f(b)이면 a = b일 때를 일대일(one to one)함수라고 한다.
bijection : Ran(f)의 모든 원소가 Dom(f)의 단 한 개의 원소와 짝지어질 때 전단사 함수(bijection)이다.
one-to-one correspondence between A and B (A와 B 사이의 일대일 대응)
: everywhere defined하면서 bijection이면 one-to-one correspondence between A and B라고 한다.
invertible(가역) 함수
f : A → B에 대하여 f의 역관계 f^-1가 또한 함수이면, f를 invertible(가역) 함수라고 한다.
다음은 invertible 함수에 관해 자주 사용되는 정리이다.
(a) f^-1가 B에서 A로 가는 함수일 필요충분조건은 f가 일대일인 것이다.
(b) f^-1가 함수이면, 함수 f^-1도 또한 일대일이다.
(c) f^-1가 모든 곳에서 정의될 필요충분조건은 f가 전사 함수인 것이다.
(d) f^-1가 전사 함수일 필요충분조건은 f가 모든 곳에서 정의되는 것이다.
A와 B가 같은 수의 원소를 가진 두 유한 집합이라 하고, f : A → B를 모든 곳에서 정의된 함수라고 하자.
(a) f가 일대일이면, f는 전사이다.
(b) f가 전사이면, f는 일대일이다.
댓글 없음:
댓글 쓰기