집합(Set)에는 셀 수 있는 집합과 셀 수 없는 집합이 있다.
A set : countable (가산집합)
uncountable (비가산집합)
이 때 주의할 것은 무한집합과 헷갈려서는 안된다는 것이다. 무한집합도 셀 수 있는 것이 있다. 예를 들면 자연수 정수 같은 집합은 셀 수 있는 집합이다. 물론 그 끝이 언제 보일지 모르지만, 어쨌든 '손꼽아서 셀 수 있으면' countable한 것이다.
countable한가 uncountable한가를 따지기 위한 좋은 방법이 있다. 앞에서 배운 set corresponding to a sequence를 적용하는 것이다. 즉 어떤 sequence에 corresponding하면 "countable"하다고 할 수 있다.
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유리수는 countable하다. 즉 유리수를 커버하는 sequence가 있다.
유리수 a = n1/n2 를 평면 좌표 (n1, n2)로 나타내었을 때 평면상에 있는 모든 수를 표현하면 된다. 어떻게 모든 평면상의 좌표를 포함할 수 있을까? 방법은 아래와 같이 지그재그로 표현하는 것이다.
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그러나 실수는 uncountable하다. (비가산집합)
0과 1 사이의 실수 집합이 uncountable하기 때문이다.
0.123456............
0.246582............
0.846236............
0......................
0......................
위와 같이 0 이상 1 이하의 모든 실수들을 쭉 나열할 수 있다고 해보자.
어떤 실수를 임의로 만들면 그 리스트에 포함될 것이다.
그런데 우리는 리스트에 포함되지 않는 수를 만들 수 있다.
리스트 첫째수인 0.123456.....과 다른 수를 만들기 위해
소수점 첫째자리 수를 1과 다른 수로 쓴다. 임의로 0으로 써보자.
0.0
이번에는 리스트 둘째수인 0.246582...와 같지 않게
소수점 둘째자리 수를 4과 다른 수로 쓴다. 임의로 3으로 써보자.
0.03
이런 식으로 리스트 셋째수와는 소수점 셋째자리 수를 같지 않게 하고,
리스트 넷째수와는 소수점 넷째자리 수를 같지 않게 하고,
리스트 n번째수와는 소수점 n번째자리 수가 같지 않게 하면,
리스트에 나온 모든 수와는 다른 새로운 실수를 만들 수 있는 것이다.
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